Грозит ли мне уголовная ответственность за непостановку на учет и как этого избежать?

Уголовной ответственности, предусмотренного ст. 328 УК (за уклонение от призыва) точно не будет.

Вероятна административная ответственность по ст. 21.5 КоАП.

«Уголовный кодекс Российской Федерации» от 13.06.1996 N 63-ФЗ (ред. от 03.10.2018) (с изм. и доп., вступ. в силу с 21.10.2018)УК РФ

 Статья 328. Уклонение от прохождения военной и альтернативной гражданской службы
 

1. Уклонение от призыва на военную службу при отсутствии законных оснований для освобождения от этой службы — наказывается штрафом в размере до двухсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до восемнадцати месяцев, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет.
2. Уклонение от прохождения альтернативной гражданской службы лиц, освобожденных от военной службы, -

наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо арестом на срок до шести месяцев.

Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях" от 30.12.2001 N 195-ФЗ (ред. от 11.10.2018)

КоАП РФ Статья 21.5. Неисполнение гражданами обязанностей по воинскому учету
 

Неявка гражданина, состоящего или обязанного состоять на воинском учете, по вызову (повестке) военного комиссариата или иного органа, осуществляющего воинский учет, в установленные время и место без уважительной причины, неявка в установленный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства, расположенное за пределами территории муниципального образования, место пребывания на срок более трех месяцев либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию, а равно несообщение в установленный срок в военный комиссариат или в иной орган, осуществляющий воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы или должности, о переезде на новое место жительства, расположенное в пределах территории муниципального образования, или место пребывания — (в ред. Федерального закона от 09.03.2010 N 27-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере от ста до пятисот рублей.